前回は回転行列を使って点 (もしくは位置ベクトル) を回転させる方法についてみましたが、平面上での単純な平行移動、たとえば
\(x'=x+3\)
\(y'=y+5\)
のような変換はそのままでは行列では表せません。\(y'=y+5\)
そこで、平面上の点に対応する列ベクトルに3行目の値「1」を付け加えて以下のようにしてみます。これを同次表現といいます。
\(
\boldsymbol{r}
\equiv\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{r}'
\equiv\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{pmatrix}
\)
こうすると、\(x'=x+3\), \(y'=y+5\) という変換は以下のように行列と列ベクトルの積で表せるようになります。
\(
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{pmatrix}
=
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 3\\
0 & 1 & 5\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\)
一般的に書くと、「ある点を \(x\) 方向に \(t_x\), \(y\) 方向に \(t_y\) 移動させる」という変換を表す行列は
\(
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x\\
0 & 1 & t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
となります。一方、原点を中心とした反時計回り \(\theta\) の回転を表す行列は以下のように書けます。
\(
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
これらはどちらも同次座標変換行列と言います。平行移動と回転の変換行列を組み合わせれば、原点以外の点を中心とした回転を行うこともできます。
例えば \((t_x, t_y)\) を中心とした反時計回り \(\theta\) の回転は
- \((-t_x, -t_y)\) の平行移動
- 原点を中心とした反時計回り \(\theta\) の回転
- \((t_x, t_y)\) の平行移動
それぞれの変換は
\(
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -t_x\\
0 & 1 & -t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\\
&&\\
\begin{pmatrix}
x'' \\
y'' \\
1
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
1
\end{pmatrix}
\\
&&\\
\begin{pmatrix}
x''' \\
y''' \\
1
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x\\
0 & 1 & t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x'' \\
y'' \\
1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\)
なので、
\(
\begin{eqnarray}
\begin{pmatrix}
x''' \\
y''' \\
1
\end{pmatrix}
&=&
\begin{pmatrix}
1 & 0 & t_x\\
0 & 1 & t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -t_x\\
0 & 1 & -t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\\
&&\\
&=&
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & t_x\\
\sin\theta & \cos\theta & t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
1 & 0 & -t_x\\
0 & 1 & -t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\\
&&\\
&=&
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & - t_x\cos\theta + t_y\sin\theta + t_x\\
\sin\theta & \cos\theta & - t_x\sin\theta-t_y\cos\theta + t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x \\
y \\
1
\end{pmatrix}
\end{eqnarray}
\)
つまり、「\((t_x, t_y)\) を中心とした反時計回り \(\theta\) の回転」は
\(
\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & - t_x\cos\theta + t_y\sin\theta + t_x\\
\sin\theta & \cos\theta & - t_x\sin\theta-t_y\cos\theta + t_y\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
という行列で表されます。移動後の座標はそれぞれ
\(
\begin{eqnarray}
x''' &=& x\cos\theta-y\sin\theta - t_x\cos\theta + t_y\sin\theta+ t_x\\
y''' &=& x\sin\theta+y\cos\theta - t_x\sin\theta-t_y\cos\theta+t_y
\end{eqnarray}
\)
となります。これは少し変形すれば
\(
\begin{eqnarray}
x''' &=& (x-t_x)\cos\theta-(y-t_y)\sin\theta+t_x\\
y''' &=& (x-t_x)\sin\theta+(y-t_y)\cos\theta+t_y
\end{eqnarray}
\cdots (1)
\)
とも書けます。
