動画の解説を参照
2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) の積 \(\boldsymbol{C} = \boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)
の要素は以下のようにして求められます。
\(
c_{ij} = \displaystyle \sum_{k=1} a_{ik}b_{kj}
\)
例えば\(\boldsymbol{A}\) が2行3列, \(\boldsymbol{B}\) が3行4列で
\(
\boldsymbol{A}
=\begin{pmatrix}
3 & 0 & 5 \\
-2 & 1 & -1
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{B}
=\begin{pmatrix}
1 & 2 & -1 & 0 \\
-2 & 3 & 0 & 4 \\
0 & -3 & 1 & -2
\end{pmatrix}
\)
なら、
\(
\begin{eqnarray}
c_{11}&=&a_{11}b_{11}+a_{12}b_{21}+a_{13}b_{31}&=&3\times1+0\times(-2)+5\times0&=&3\\
c_{12}&=&a_{11}b_{12}+a_{12}b_{22}+a_{13}b_{32}&=&3\times2+0\times3+5\times(-3)&=&-9\\
c_{13}&=&a_{11}b_{13}+a_{12}b_{23}+a_{13}b_{33}&=&3\times(-1)+0\times0+5\times1&=&2\\
c_{14}&=&a_{11}b_{14}+a_{12}b_{24}+a_{13}b_{34}&=&3\times0+0\times4+5\times(-2)&=&-10\\
c_{21}&=&a_{21}b_{11}+a_{22}b_{21}+a_{23}b_{31}&=&(-2)\times1+1\times(-2)+(-1)\times0&=&-4\\
c_{22}&=&a_{21}b_{12}+a_{22}b_{22}+a_{23}b_{32}&=&(-2)\times2+1\times3+(-1)\times(-3)&=&2\\
c_{23}&=&a_{21}b_{13}+a_{22}b_{23}+a_{23}b_{33}&=&(-2)\times(-1)+1\times0+(-1)\times1&=&1\\
c_{24}&=&a_{21}b_{14}+a_{22}b_{24}+a_{23}b_{34}&=&(-2)\times0+1\times4+(-1)\times(-2)&=&6
\end{eqnarray}
\)
より、
\(
\boldsymbol{C}=
\begin{pmatrix}
3 & -9 & 2 & -10 \\
-4 & 2 & 1 & 6
\end{pmatrix}
\)
となります。この例 (
2行3列 と 3行
4列 の行列の積が
2行4列の行列になる) からもわかるように、行列の積には
- 前の行列の列数と後ろの行列の行数が同じときに計算できる
- 計算結果の行列の行数は前の行列と同じになる
- 計算結果の行列の列数は後ろの行列と同じになる
という性質があります。
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
以下の2つの行列 \(\boldsymbol{A}\), \(\boldsymbol{B}\) について、\(\boldsymbol{C}=\boldsymbol{A}\boldsymbol{B}\)
を求めてください。導出過程も書いてください。
\(\boldsymbol{A}=\Bigg{(}\)
\(\Bigg{)}\)
\(\boldsymbol{B}=\Bigg{(}\)
\(\Bigg{)}\)
動画の解説を参照
平面上の点 \((x, y)\) を原点を中心に反時計まわりに \(\theta\) 回転させた点を \(x', y'\) とします。これを求めるために、次のような手順で考えます。
図のようなベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) を考えると、それぞれの成分は
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} &=& (x, 0)\\
\boldsymbol{b} &=& (0, y)
\end{eqnarray}
\)
となります。これらのベクトルも点と一緒に回転させると
のようになります。図から、回転したベクトルの成分は
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a}' &=& (x\cos\theta, x\sin\theta)\\
\boldsymbol{b}' &=& (-y\sin\theta, y\cos\theta)
\end{eqnarray}
\)
なので、回転した点 (\(\boldsymbol{a}'+\boldsymbol{b}'\) の終点) の座標は
\(
\begin{eqnarray}
x' &=& x\cos\theta-y\sin\theta\\
y' &=& x\sin\theta+y\cos\theta
\end{eqnarray}
\)
となることがわかります。ここで、以下の3つの行列 (最初の2つは列ベクトル) を
\(
\boldsymbol{r}
\equiv\begin{pmatrix}
x \\
y
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{r}'
\equiv\begin{pmatrix}
x' \\
y'
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{R}(\theta)
\equiv\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta\\
\sin\theta & \cos\theta
\end{pmatrix}
\)
と定義すると、上記の回転は
\(\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{R}(\theta)\boldsymbol{r}\)
のように簡単に表せます。この \(\boldsymbol{R}(\theta)\) を
回転行列 といいます。
動画の解説を参照
空間ベクトルも同様に行列を使って回転させられます。\(z\)軸を回転軸とした回転では、\(x, y\) 成分は平面ベクトルのときとまったく同様に変わり、\(z\) 座標は変わりません。
\(
\begin{eqnarray}
x' &=& x\cos\theta-y\sin\theta\\
y' &=& x\sin\theta+y\cos\theta\\
z' &=& z
\end{eqnarray}
\)
この計算は行列で
\(
\begin{pmatrix}
x'\\
y'\\
z'
\end{pmatrix}
=\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1 \\
\end{pmatrix}
\begin{pmatrix}
x\\
y\\
z
\end{pmatrix}
\)
のように書くこともできます。これに含まれる3つの行列を
\(
\boldsymbol{r}
\equiv\begin{pmatrix}
x \\
y \\
z
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{r}'
\equiv\begin{pmatrix}
x' \\
y' \\
z'
\end{pmatrix}
\)
\(
\boldsymbol{R}_z(\theta)
\equiv\begin{pmatrix}
\cos\theta & -\sin\theta & 0\\
\sin\theta & \cos\theta & 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
\)
と定義すれば、この回転は
\(\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{R}_z(\theta)\boldsymbol{r}\)
のように簡単に表せます。
同様に、\(x\)軸を中心とした回転を表す行列は
\(
\boldsymbol{R}_x(\phi)
\equiv\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & \cos\phi & -\sin\phi\\
0 & \sin\phi & \cos\phi
\end{pmatrix}
\)
\(y\)軸を中心とした回転を表す行列は
\(
\boldsymbol{R}_y(\psi)
\equiv\begin{pmatrix}
\cos\psi & 0 & \sin\psi \\
0 & 1 & 0\\
-\sin\psi & 0 & \cos\psi
\end{pmatrix}
\)
となります。
これらを組み合わせれば、もっと複雑な回転も扱えます。
\(\boldsymbol{r}\) を \(x\)軸を中心として\(\phi\) 回転させたベクトル \(\boldsymbol{r}'\) は
\(\boldsymbol{r}' = \boldsymbol{R}_x(\phi)\boldsymbol{r}\)
で求められ、さらにこれを \(y\)軸を中心として\(\psi\)回転させたベクトル \(\boldsymbol{r}''\) は
\(\boldsymbol{r}''\)\( = \boldsymbol{R}_y(\psi)\boldsymbol{r}'\)
\(=\boldsymbol{R}_y(\psi)\boldsymbol{R}_x(\phi)\boldsymbol{r}\)
となります。「\(x\)軸を中心として\(\phi\) 回転させたあとで、\(y\)軸を中心として\(\psi\)回転させる」という処理を行う行列が
\(\boldsymbol{R}_y(\psi)\boldsymbol{R}_x(\phi)\)
であることがわかります。