動画の解説を参照
3つのベクトル \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) があるとき、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\)
はベクトルなので、これと \(\boldsymbol{c}\) の内積を求めることができます。内積なので、これはスカラー量になります。
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
のことをこれらの
スカラー三重積といいます。
これは立体図形と密接に関係しています。
平行六面体とは6つの平行四辺形で囲まれた立体図形のことです。長方形は平行四辺形の一種なので、直方体も平行六面体の一種です。
(余談ですが、直方体は「6つの長方形で囲まれた立体」で定義され、正方形は長方形の一種なので、立方体は直方体の一種といえます)
平行六面体には辺が12本ありますが、4本ずつ長さも向きも同じ組み合わせがあります (図の赤・緑・青)。
向かい合った面は完全に合同です (それぞれ赤と緑、緑と青、青と赤で囲まれた平行四辺形)。
平行六面体の体積を考えてみましょう。
太い赤、緑、青の線を \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) (いずれも黒丸が始点) とし、
太線の赤と緑で囲まれた面を底面と考えると、その面積 \(S\) は\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の外積の絶対値になります (
第6回)。
\(S=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\)
また、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) はこの面に垂直になります (
第9回)。
平行六面体の高さ \(h\) は、青の辺を底面に垂直な方向に射影した線 (図の黒線) の長さになります。これは底面の正規化された法線ベクトル \(\boldsymbol{e}_{ab}\) と \(\boldsymbol{c}\)
の内積で求められます。
\(h=\boldsymbol{e}_{ab}\cdot\boldsymbol{c}\)
平行六面体の体積 \(V\) は底面の面積と高さをかければ求められるので、
\(V=Sh=|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|\boldsymbol{e}_{ab}\cdot\boldsymbol{c}\)
ですが、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{c}\) の向きに応じて \(\boldsymbol{e}_{ab}\) は
\(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|}}\)
か
\(-\Large{\frac{\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}}{|\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}|}}\)
のどちらか一方になることを考えると、\(V\) は
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
か
\(-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\)
のどちらかになることがわかります。結局、体積はスカラー三重積の絶対値
\(V=|(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}|\cdots(1)\)
で求められることになります。
計算してみるとわかりますが、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) をサイクリックに
(\(\boldsymbol{a}\)→\(\boldsymbol{b}\)→\(\boldsymbol{c}\)→\(\boldsymbol{a}\)) 変えたもののスカラー三重積はもとと同じ値になります。
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}
=(\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\cdot\boldsymbol{a}
=(\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{b}\)
動画の解説を参照
こんどは \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{c}\) の外積
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\)を考えてみましょう。
外積なので、これはベクトル量になります。これを
ベクトル三重積といいます。
その x 成分は
\(
\begin{eqnarray}
&&(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_yc_z-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_zc_y\\
=&&(a_zb_x - a_xb_z)c_z-(a_xb_y-a_yb_x)c_y\\
=&&(a_yc_y+a_zc_z)b_x-(b_yc_y+b_zc_z)a_x\\
=&&(a_xc_x+a_yc_y+a_zc_z)b_x-(b_xc_x+b_yc_y+b_zc_z)a_x\\
=&&(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_x-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_x
\end{eqnarray}
\)
となります。同様に y成分, z成分を計算してみると
\(
\begin{eqnarray}
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_zc_x-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_xc_z
&=&(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_y-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_y\\
(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_xc_y-(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})_yc_x
&=&(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})b_z-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})a_z
\end{eqnarray}
\)
となるので、
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}=
(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{c})\boldsymbol{a}\cdots(2)\)
となります。
\(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) を含む面を \(P\) とすると、上記のベクトル三重積は \(P\) の中にあります。
これは、(2)式右辺が \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の線型結合の形で表されることと同義です。
このことは (2) 式を使わなくてもわかります。
\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) は \(P\) に垂直
→ \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\) は \(P\) の法線に垂直
→ \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\) は \(P\) の中にある
スカラー三重積とは違い、ベクトル三重積で \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) をサイクリックに変えたものはもととは
同じになりません。
これは上記の注釈からも明らかです。つまり、
\((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\) は \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) を含む面
\((\boldsymbol{b}\times\boldsymbol{c})\times\boldsymbol{a}\) は \(\boldsymbol{b}\) と \(\boldsymbol{c}\) を含む面
\((\boldsymbol{c}\times\boldsymbol{a})\times\boldsymbol{b}\) は \(\boldsymbol{c}\) と \(\boldsymbol{a}\) を含む面
の中にあることからも、この3つは別のものであることがわかります。
課題1と同じ
\(\boldsymbol{a}\),
\(\boldsymbol{b}\),
\(\boldsymbol{c}\)
について、ベクトル三重積 \((\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\times\boldsymbol{c}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。