本題に入る前に必ず連絡の動画を見てください。
参考 : 手書きのベクトルの文字の書き方

動画の解説を参照

第5回で扱った平面ベクトルの外積は向きを持たないスカラー量でしたが、 空間ベクトルの外積はベクトルとして定義されます。
\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) とすると、\(\boldsymbol{c}\) の大きさは のように表されます。 ここで、\(\theta\) は \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) の間の角度です。平面ベクトルのときと違い、単純に「どれだけ開いているか」なのでマイナスの値にはならず、範囲は \(0\le\theta\le180\) です。つまり、\(0\le\sin\theta\le1\) となります。

\(\boldsymbol{c}\) はベクトルなので向きの情報も持ちます。その向きは \(\boldsymbol{a}\) と \(\boldsymbol{b}\) のどちらとも垂直で、\(\boldsymbol{a}\) から \(\boldsymbol{b}\) に向かう回転に対する右ネジの向きです。

話を簡単にするため、\(\boldsymbol{a} = (1, 0, 0)\) と \(\boldsymbol{b} = (\cos\alpha, \sin\alpha, 0)\) の場合を考えてみましょう。
この場合は、2つのベクトルはどちらも大きさが1で、XY平面上にあります。

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\(0\lt\alpha\lt180\) の場合

右ネジの向きは zの正方向になるのでこのように \(\boldsymbol{c}\) は上向きになります。
その大きさは \(|\boldsymbol{c}|\) \(=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin\theta\) \(=\sin\alpha\) となります。

成分を書き下すと \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin\alpha)\) となります。

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\(180\lt\alpha\lt360\) の場合

右ネジの向きは zの負方向になるので \(\boldsymbol{c}\) は下向きになります。その大きさは となります。

この場合は \(\sin\alpha\lt0\) なので、\(\boldsymbol{c}\) の終点は「原点から\(-\sin\alpha\)」下がった位置、つまり「原点から\(\sin\alpha\)だけz方向に移動した位置」なので、成分は \(\boldsymbol{c}=(0, 0, \sin\alpha)\) です。

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結局、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) がXY平面上にある場合は、\(\alpha\) が何であっても となります。
そのz成分はまさに「平面ベクトルでの外積の定義」と同じものです。
逆にいうと、外積は本当はベクトルだけれども平面図形で考えている場合はz成分しか存在しないのでその値だけを「外積」として扱っていたということです。

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学籍番号 入力

概要の \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) について、\(\alpha=\) , \(\boldsymbol{d}=\) \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{e}=\) \(\boldsymbol{b}\) の場合の \(\boldsymbol{f} = \boldsymbol{d}\times\boldsymbol{e}\) の成分を書き下してください。
導出過程も書き、z成分は四捨五入して小数第2位までにしてください。

動画の解説を参照

基底ベクトルどうしの外積を考えてみましょう。
まず、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_x\) のような自分自身との外積では、角度が0になるので sin の値も0、つまり向きも長さも持たないベクトルになります。
このようなベクトルを「零ベクトル」と呼び、\(\boldsymbol{0}\) と書きます。成分を書き下すと \(\boldsymbol{0} = (0, 0, 0)\) です。
y方向, z方向の基底ベクトルについても同様なので、以下のことが言えます。 異なる基底ベクトルどうしの外積は全部で6つあります。
\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y\) は、2つのベクトルの長さがどちらも1で、それらのあいだの角度が90度なので大きさは1になります。
また、右ネジの向きはZ軸の正の方向なので、\(\boldsymbol{e}_x\times\boldsymbol{e}_y = \boldsymbol{e}_z\) になります。

一方、\(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x\) は長さは1ですが、向きは逆になります。
つまり \(\boldsymbol{e}_y\times\boldsymbol{e}_x = -\boldsymbol{e}_z\) です。

\(\boldsymbol{e}_y\) と \(\boldsymbol{e}_z\), \(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\) についても同様に考えることができます。まとめると となります。 これらを使えば、\(\boldsymbol{e}_x\),\(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表されたベクトルどうしの外積も求められます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと となるので、 のようになります。 これを展開すると9個の項ができますが、零ベクトルになるものを消し、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の係数をまとめれば、 となります。 (\(\boldsymbol{e}_z\) の係数は、まさに第5回で見た平面ベクトルの成分を使って外積を求める式そのものです)。

\(\boldsymbol{a} = \), \(\boldsymbol{b} = \) の場合の \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) を求めてください。
計算過程も書いてください。

動画の解説を参照

外積はその定義から元になった2つのベクトルのどちらとも垂直になります。
2つのベクトルが垂直であるかどうかは、内積を計算してみればわかります。 内積はそれぞれのベクトルの大きさ、それらの間の角度の cos をかけたものなので、 2つのベクトルのすくなくともどちらかが零ベクトルでない限り、内積が0であれば cos の値は0、つまり2つのベクトルは垂直であることになります。
前項の (1) 式を使えば、 となり、確かに \(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が元のベクトルのひとつ \(\boldsymbol{a}\) と垂直に交わることが確かめられます。同様に なので、\(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b}\) が \(\boldsymbol{b}\) とも垂直に交わることが確かめられます。

課題2の \(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) について、\(\boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\) と \(\boldsymbol{b}\cdot(\boldsymbol{a}\times\boldsymbol{b})\) を求めてください。
※ どちらも 0 になるはずですが、これはそれを確認するための問題なので、計算過程も書いてください。

課題提出用フォーム

※ Wordで課題を作成する場合は、第1回のWordでの数式入力に関連する解説を参考にして「数式」の機能を使ってください。