動画の解説を参照
3次元の場合も、2次元のときと同様に基底ベクトル (座標軸の正の方向を向いた、大きさ1のベクトル) を考えることができます。
これらの成分を書き下すと以下のようになります。
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_x &=& (1, 0, 0)\\
\boldsymbol{e}_y &=& (0, 1, 0)\\
\boldsymbol{e}_z &=& (0, 0, 1)\\
\end{eqnarray}
\)
これらを使うと、例えば (0, 0, 0) を始点、(2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a}\) は
このような3つのベクトルの和と考えることができます。
つまり、
\(\boldsymbol{a} = 2\boldsymbol{e}_x+4\boldsymbol{e}_y + 3\boldsymbol{e}_z\)
となります。要するに、これは \(\boldsymbol{a}\) を \(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\) の線型結合で表した形です。
動画の解説を参照
空間ベクトルでも、平面ベクトルと同様に2本のベクトルの内積は \(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) のように書きます。
定義も同様で、もとのベクトルの大きさとベクトルどうしの角度 \(\theta\) で表されます。
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) , \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\) の場合、これらを基底ベクトルの線型結合の形で書くと
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} &=& a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y + a_z\boldsymbol{e}_z\\
\boldsymbol{b} &=& b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z
\end{eqnarray}
\)
となるので、
\(
\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=(a_x\boldsymbol{e}_x + a_y\boldsymbol{e}_y +
a_z\boldsymbol{e}_z)\cdot(b_x\boldsymbol{e}_x + b_y\boldsymbol{e}_y + b_z\boldsymbol{e}_z)\\
\)
のようになります。
これを展開すると9個の項ができますが、\(\boldsymbol{e}_x\), \(\boldsymbol{e}_y\), \(\boldsymbol{e}_z\)
がどれも単位ベクトルであること、\(\boldsymbol{e}_x\) と \(\boldsymbol{e}_y\)、\(\boldsymbol{e}_y\) と
\(\boldsymbol{e}_z\)、\(\boldsymbol{e}_z\) と \(\boldsymbol{e}_x\)、が垂直に交わることを考えると、
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_x&=&\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_y&=&\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_z&=&1\\
\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_y&=&\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_z&=&\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_x&=&0\\
\boldsymbol{e}_y\cdot\boldsymbol{e}_x&=&\boldsymbol{e}_z\cdot\boldsymbol{e}_y&=&\boldsymbol{e}_x\cdot\boldsymbol{e}_z&=&0
\end{eqnarray}
\)
になることがわかります。要するに、残るのは「同じ方向の成分どうしの積の和」だけ、つまり
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=a_xb_x + a_yb_y + a_zb_z\cdots(1) \)
となります。
動画の解説を参照
内積の定義
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
は平面図形のときと同じなので、第3回で求めた
\(\theta =
\cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\)
も同様に成り立ちます。
\(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\), \(\boldsymbol{b} = (b_x, b_y, b_z)\)
なら、これらの成分を使って以下のように表せます。
\(\theta =
\cos^{-1}\left(\Large{\frac{a_xb_x+a_yb_y+a_zb_z}{\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\sqrt{b_x^2+b_y^2+b_z^2}}}\right)\cdots(2)\)