動画の解説を参照
平面上のすべての点は x, y の2つの座標で表すことができますが、3次元の空間にある点を表すにはこのほかにもう一つの座標、つまりz座標が必要になります。
例えば xy平面上の点 (2, 4) から上に3だけ離れたところにある点の座標は (2, 4, 3) となります。この点を3次元の座標系で図示するとこのようになります。
(JavaScriptのライブラリ、Plotly で描画したものです。ドラッグで回転させられます)
※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。
図の点の座標を書いてください。
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平面ベクトルと同様に、2つの点を結ぶ矢印として空間ベクトルを定義できます。
例えば原点 (0, 0, 0) を始点、 (2, 4, 3) を終点とするベクトル \(\boldsymbol{a} = (2, 4, 3)\) はこのようになります。
\(\boldsymbol{a}\) の大きさは、2段階に分けて考えれば求められます。
まず、(0, 0, 0) と (2, 4, 0) をつなぐ線 (xy平面上の長方形の対角線) の長さを \(L\) とすると、三平方の定理から
\(L^2=2^2+4^2\)
となります。さらにこの線、ベクトルの終点からxy平面に下ろした垂線、ベクトルに沿った線からなる三角形も直角三角形なので、
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=L^2+3^2\)
が成り立つので、結局
\(\left|\boldsymbol{a}\right|^2=2^2+4^2+3^2\)
つまり
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{2^2+4^2+3^2}\)
となります。より一般的に \(\boldsymbol{a} = (a_x, a_y, a_z)\) とすると、ベクトルの大きさは以下のように表されることがわかります。
\(\left|\boldsymbol{a}\right|=\sqrt{a_x^2+a_y^2+a_z^2}\cdots(1)\)
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空間ベクトルどうしの和・差も、平面ベクトルと同様にそれぞれの成分の和・差で求められます。つまり、
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} &=& (a_x, a_y, a_z)\\
\boldsymbol{b} &=& (b_x, b_y, b_z)
\end{eqnarray}
\)
なら、
\(
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{a} + \boldsymbol{b} &=& (a_x+b_x, a_y+b_y, a_z+b_z)\\
\boldsymbol{a} - \boldsymbol{b} &=& (a_x-b_x, a_y-b_y, a_z-b_z)
\end{eqnarray}
\)
となります。
空間ベクトルのスカラー倍も、平面ベクトルと同様に考えられます。
つまり、\(s\boldsymbol{a}\) は、\(\boldsymbol{a}\) と「向きが同じで大きさが \(s\) 倍」のベクトルです。
\(x, y, z\) 成分をそれぞれ \(s\) 倍にすればそのベクトルが得られます。
\(s\boldsymbol{a} = (sa_x, sa_y, sa_z)\)