第4回　平面ベクトル：内積 (2)

本題に入る前に必ず連絡の動画を見てください。
参考 : 手書きのベクトルの文字の書き方

1. 内積と余弦定理

概要

動画の解説を参照

このような3つのベクトルを考えれば、
\(\boldsymbol{b}+\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}\)
なので、両辺から \(\boldsymbol{b}\) を引けば
\(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\)
となります。両辺のそれぞれのベクトルと \(\boldsymbol{c}\) の内積をとってみると、
\(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c}\) \(=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot\boldsymbol{c}\) \(=(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\cdot(\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b})\)
となります。この式の右辺を展開すると
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a}\) \(-\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}\) \(-\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}\) \(+\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b}\)
となります。 ここで、自分との内積では角度が0になることから
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{a} = \left|\boldsymbol{a}\right|^2\)
\(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{b} = \left|\boldsymbol{b}\right|^2\)
\(\boldsymbol{c}\cdot\boldsymbol{c} = \left|\boldsymbol{c}\right|^2\)
となること、さらに内積の定義から
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
\(\boldsymbol{b}\cdot\boldsymbol{a}=\left|\boldsymbol{b}\right|\left|\boldsymbol{a}\right|\cos(-\theta)\)
ですが、\(\cos\theta=\cos(-\theta)\) であることから、この2つは全く同じであることがわかります。 結局、(1)式は
\(\left|\boldsymbol{c}\right|^2=\left|\boldsymbol{a}\right|^2+\left|\boldsymbol{b}\right|^2-2\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\cdots(1)\)
となります。

高校の数学で出てくる「余弦定理」ではベクトルを使いませんが、意味するものは上記の話と同じです。
\(c^2 = a^2 + b^2 - 2ab\cos\theta\)

課題1

※ 準備 : 学籍番号を入れて「入力」をクリック (タップ) してください。


\(\boldsymbol{a} = (1, 0)\), \(\boldsymbol{b}=(\cos\theta, \sin\theta)\) で、\(\theta=\) , \(\boldsymbol{c}=\boldsymbol{a}-\boldsymbol{b}\) の場合の \(|\boldsymbol{c}|\) を求めてください。
ただし、結果は四捨五入して小数第2位までにし、計算過程も書いてください。

\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\), \(\boldsymbol{c}\) はそれぞれ下の図の黒、青、赤のベクトルに相当します。この円の半径は 1 なので、\(|\boldsymbol{c}|\) は 0～2の範囲の値になります。

2. 内積から角度を求める

概要

動画の解説を参照

前回見たように、\(\boldsymbol{a}\), \(\boldsymbol{b}\) の内積は
\(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta\)
のように定義されます。この両辺を \(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\) で割れば、
\(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\)\(=\cos\theta\)
となります。つまり、各ベクトルの大きさと内積から角度の \(\cos\) がわかるわけです。
逆三角関数 \(\cos^{-1}\) (アークコサイン) を使えば、角度 \(\theta\) は
\(\theta = \cos^{-1}\left(\Large{\frac{\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}}{\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|}}\right)\)
のように表せます。

課題2

\(\boldsymbol{d}・\boldsymbol{e}\) , \(|\boldsymbol{d}||\boldsymbol{e}|\) の場合の \(\boldsymbol{d}\) と \(\boldsymbol{e}\) のなす角 \(\phi\) を単位「°」で求めてください。
ただし、結果は四捨五入して小数第2位までにし、計算過程も書いてください。

3. 内積を使って面積を求める

概要

動画の解説を参照

内積を使って三角形の面積を求めることもできます。
このような三角形で、底辺を \(|\boldsymbol{a}|\) とすると高さは \(|\boldsymbol{b}|\sin\theta\) になるので、

三角形の面積 \(S\) は
\(S=\frac{1}{2}|\boldsymbol{a}||\boldsymbol{b}|\sin\theta\)
となります。ここで数学の公式
\(\cos^2\theta+\sin^2\theta=1\)
を使えば、\(\theta\) が正の範囲では
\(\sin\theta=\sqrt{1-\cos^2\theta}\)
となります。ここで図のようなベクトルを考えれば、面積 \(S\) は
\( \begin{eqnarray} S&=&\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sin\theta\\ &=&\frac{1}{2}\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\sqrt{1-\cos^2\theta}\\ &=&\frac{1}{2}\sqrt{(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2(1-\cos^2\theta)}\\ &=&\frac{1}{2}\sqrt{(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2-(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|)^2\cos^2\theta}\\ &=&\frac{1}{2}\sqrt{\left|\boldsymbol{a}\right|^2\left|\boldsymbol{b}\right|^2-(\left|\boldsymbol{a}\right|\left|\boldsymbol{b}\right|\cos\theta)^2}\\ &=&\frac{1}{2}\sqrt{\left|\boldsymbol{a}\right|^2\left|\boldsymbol{b}\right|^2-(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b})^2} \end{eqnarray} \)
のようになることがわかります。
要するに、面積は「2つのベクトルの大きさの2乗をかけたもの」から「2つのベクトルの内積の2乗」を引いて平方根を取って2で割れば求められます。

課題3

課題2の \(\boldsymbol{d}\), \(\boldsymbol{e}\) を2辺とする三角形の面積を求めてください。
ただし、結果は四捨五入して小数第2位までにし、計算過程も書いてください。

提出

課題提出用フォーム

※ Wordで課題を作成する場合は、第1回のWordでの数式入力に関連する解説を参考にして「数式」の機能を使ってください。